微分幾何学 3: 曲率は曲がり方を数字にする

曲率は、曲がり方を数字で表す考え方です。

曲線なら直感はわかりやすいです。まっすぐな線の曲率は 0 です。小さい円ほど急に曲がるので、曲率は大きくなります。

半径 $R$ の円の曲率は

$$\kappa = \frac{1}{R}$$

です。

大きな円はゆるく曲がります。小さな円はきつく曲がります。だから半径の逆数になります。

曲面では、方向によって曲がり方が違う

曲面では少し面白いことが起きます。

同じ点でも、どの方向に切るかで曲がり方が変わります。

球面なら、どの方向に切っても同じように丸く曲がります。

円柱なら、ぐるっと回る方向には曲がっていますが、縦方向にはまっすぐです。

円柱は外から見ると曲がっています。でも紙を切って開けば平面になります。

つまり、円柱の表面の住人にとっては、円柱は本質的には平らです。

正の曲率と負の曲率

球面のように、どの方向にも同じ側へ曲がる曲面は正の曲率を持ちます。

鞍面のように、ある方向には上へ、別の方向には下へ曲がる曲面は負の曲率を持ちます。

鞍面では、曲面上に小さな三角形を描くと、平面の三角形とは角度の和がずれます。

球面では三角形の角度の和が $180^\circ$ より大きくなります。鞍面では小さくなります。

ガウス曲率

曲面のある点で、いちばん大きく曲がる方向の曲率を $k_1$、いちばん小さく曲がる方向の曲率を $k_2$ とします。

ガウス曲率は

$$K = k_1 k_2$$

で定義されます。

球面では $k_1$ も $k_2$ も同じ符号なので、$K$ は正です。

円柱では一方が曲がり、もう一方が 0 なので、$K=0$ です。

鞍面では一方が正で、もう一方が負なので、$K$ は負です。

まとめ

曲率は、曲がり方を数字で表す道具です。

曲面では方向によって曲がり方が違うため、2 つの主曲率を考え、その積としてガウス曲率を作ります。

次回は、このガウス曲率についての有名な定理、ガウスの驚異の定理を見ます。