微分幾何学 2: 接ベクトルと曲面のものさし

前回は、多様体を「近くで見ると平らな場所」として見ました。

今回は、その場所でどの方向へ進めるかを表す接ベクトルを見ます。

高校数学で曲線 $y=f(x)$ を習うとき、ある点で接線を引きます。接線は、その点の近くで曲線をいちばんよく近似する直線です。

多様体でも同じことをします。

接ベクトルは、その場で進める方向

円周上の点を考えます。

その点から円周に沿って進む方向は、円に接する向きです。円の外側や内側へ飛び出す向きは、円周上の動きではありません。

つまり、接ベクトルは「多様体の上にいる人が、その瞬間に進める方向」です。

球面なら、接ベクトルは接平面の中にあります。地球の表面で立っている人にとって、東西南北へ進む向きは接平面の中にあります。地面から空へ飛び上がる向きは、球面上の移動ではありません。

曲面の上では、ものさしが場所ごとに変わる

平面なら、2 点の距離は三平方の定理で測れます。

$$\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$$

でも曲面では、座標の差だけを見ても本当の長さはわかりません。

放物面を見てください。中心付近はゆるやかですが、外側へ行くほど傾きます。

同じだけ座標を動かしても、曲面上を実際に歩く長さは場所によって変わります。

この「曲面上で長さや角度を測るためのものさし」を計量と呼びます。

第一基本形式

曲面のものさしは、第一基本形式と呼ばれる式で表されます。

2 つの座標を $(u, v)$ とすると、短い移動の長さはだいたい

$$ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$$

の形で書けます。

ここで $E, F, G$ は、場所によって変わる数字です。

難しく見えますが、意味は単純です。

$du$ と $dv$ は「座標を少しだけ動かす量」です。$E, F, G$ は「その場所では、その座標の動きが実際の長さにどう効くか」を表します。

なぜ計量が大事なのか

計量があると、次のことができます。

1. 曲線の長さを測れる。
2. 2 つの方向の角度を測れる。
3. いちばん短い道を考えられる。
4. 曲面がどれくらい曲がっているかを調べられる。

微分幾何学では、計量を入れた瞬間に「ただの座標の世界」から「長さと角度を持つ世界」へ変わります。

まとめ

接ベクトルは、多様体上でその瞬間に進める方向です。

計量は、多様体上で長さと角度を測るためのものさしです。

次回は、このものさしを使って「曲がり具合」を見る曲率へ進みます。